2020年宜春学院专升本数学与应用数学专业考试大纲

　　2020年宜春学院专升本数学与应用数学专业统考科目《英语》专业课考试科目《数学分析》、《高等代数》。

《数学分析》考试大纲

　　(一)适用专业：数学与应用数学(专升本)，

　　信息与计算科学(专升本)

　　(二)适用教材：华东师大《数学分析》(上、下册)

　　一、函数、极限与连续

　　1、正确理解确界定义及确界原理。

　　2、掌握基本初等函数及其特性。

　　3、理解数列极限定义并掌握收敛数列的性质。

　　4、了解单调有界定理及柯西收敛准则。

　　5、理解各种情形的函数极限定义，并掌握函数极限性质。

　　6、正确使用两个重要极限。

　　7、掌握无穷小量及无穷大量及其阶的比较。

　　8、理解函数连续性概念并能对间断点正确分类。

　　9、正确使用连续函数在闭区间上的重要性质。

　　10、了解实数完备性的六个基本定理。

　　二、导数、微分及其应用

　　1、正确掌握导数、微分的定义及几何意义。

　　2、会使用各种求导法则和微分法则求导数和微分。

　　3、会求高阶导数以及由方程所确定的隐函数的导数。

　　4、理解并掌握微分学的三大中值定理。

　　5、正确使用洛比达规则求各类不定式极限。

　　6、掌握泰勒公式及马克劳林公式并能求一些初等函数的展开式。

　　7、能使用导数研究函数的单调性、极值、最值、凸性及拐点等几何特性。

　　三、不定积分、定积分及其应用

　　1、理解原函数与不定积分的概念，牢记基本积分公式。

　　2、熟练掌握换元积分法和分部积分法。

　　3、掌握有理函数、三角函数有理式及某些无理函数的积分方法。

　　4、理解定积分的概念及其几何意义。

　　5、掌握定积分的性质及微积分学基本定理。

　　6、熟练掌握定积分的分部积方法和换元积方法。

　　7、理解非正常积分概念及掌握一些收敛判别法。

　　8、利用积分求平面图形、旋转曲面的面积。

　　9、能求已知截面面积的立体体积及曲线的弧长。

　　四、级数理论

　　1、掌握级数收敛、发散的概念及了解级数收敛的柯西准则。

　　2、熟练掌握正项级数敛散性的各种判别法。

　　3、理解绝对收敛、条件收敛及其关系，并了解一般项级数的判别法(Leibniz法，Abel法、Dirichlet法)。

　　4、理解函数列、函数项级数的一致收敛性概念，并掌握相应判别法。

　　5、正确理解一致收敛函数列及一致收敛函数项级数性质。

　　6、熟练掌握幂级数的收敛，绝对收敛，条件收敛等概念，并正确计算幂级数的收敛半径，收敛区间，收敛域。

　　7、掌握幂级数的逐项求导、逐项积分，并能求幂级数的和函数。

　　8、掌握泰勒定理并能将初等函数展开成幂级数。

　　9、了解傅里叶级数的概念及傅里叶级数的收敛定理。

　　10、掌握以2π为周期或以2L为周期的函数的傅里叶展开以及奇偶函数的傅里叶级数。

　　五、多元函数的极限、连续、微分学

　　1、正确理解二元函数的极限、累次极限及其关系。

　　2、理解二元函数的连续定义。

　　3、熟练掌握偏导数、全微分的概念及其几何意义，理解可微与偏导数之间关系，掌握可微的条件。

　　4、熟练掌握复合函数求导的链式法则及复合函数全微分求法。

　　5、掌握并能计算方向导数、梯度。

　　6、能正确计算高阶偏导数，理解泰勒定理，并能正确计算二元函数的极值。

　　7、理解隐函数概念，初步掌握隐函数存在唯一性定理，学会计算隐函数的导数。

　　8、初步掌握隐函数组定理及反函数组定理，学会计算隐函数组的导数。

　　9、正确计算平面曲线的切线与法线方程，空间曲线的切线与法平面方程，曲面的切平面与法线方程。

　　10、熟练掌握拉格朗日乘数法求条件极植。

　　六、多元函数积分学

　　1、理解二重积分的概念及几何含义及可积条件、二重积分性质。

　　2、正确地将二重积分化为累次积分，并会使用极坐标变换计算二重积分。

　　3、理解含参量积分的概念，了解含参量积分的积分法与求导法。

　　4、掌握三重积分的概念，并正确计算三重积分。

　　5、能使用重积分求曲面的面积、物体重心等。

　　6、了解二重积分的可积性问题及二重积分变量代换定理。

　　7、理解含参量非正常积分的一致收敛概念及判别准则，掌握含参量非正常积分的连续性、可微性及可积性。

　　8、掌握第一型曲线积分与第一型曲面积分的概念及计算。

　　9、掌握第二型曲线积分与第二型曲面积分的概念及计算。

　　10、熟练掌握格林公式，理解曲线积分与路径的无关性。

　　11、掌握高斯公式与斯托克斯公式并理解其含义。

《高等代数》考试大纲

　　(一)适用专业：数学与应用数学(专升本)，

　　信息与计算科学(专升本)

　　(二)适用教材：北大数学系编《高等代数》

　　多项式

　　1、理解数域的概念;掌握连加号Σ的应用。

　　2、理解和掌握一元多项式的定义、运算及运算性质，多项式的整除的概念及性质，最大公因式、互素的概念，多项式的带余除法和辗转相除法。

　　3、理解和掌握因式分解与数域的关系，不可约多项式、重因式，多项式函数的概念，因式分解及唯一性定理，复系数多项式与实系数多项式的因式分解定理及标准分解式，有理系数多项式不可约的判定(艾森斯坦因判别法)。

　　第二章 行列式

　　1、理解排列、逆序、奇偶排列的概念;掌握对换与排列的关系。

　　2、理解和掌握n级行列式的定义、基本性质，矩阵的概念及矩阵的初等变换;熟练应用基本性质计算n级行列式。

　　3、理解和掌握行列式按行(列)展开，余子式与代数余子式的概念，范德蒙行列式，克兰姆法则及其应用。

　　第三章 线性方程组

　　1、掌握线性方程组的消元法

　　2、理解和掌握n维向量的定义、基本运算和运算的性质,向量组的线性相关性和线性无关性及其判定,向量组的极大线性无关组、秩及其等价关系,矩阵的秩及充要条件。

　　3、掌握线性方程组有解判别定理;齐次线性方程组解的结构和基础解系;非齐次线性方程组解的结构。

　　矩阵

　　1、掌握矩阵的概念、运算和运算定律，几种特殊矩阵(对角矩阵、对称(反对称)矩阵、数量矩阵等)，矩阵乘积的行列式与秩。

　　2、理解和掌握可逆矩阵的定义及简单性质，伴随矩阵及求逆矩阵的方法。

　　3、理解和掌握初等矩阵的定义，矩阵的等价，初等矩阵与初等变换的关系，初等变换求逆矩阵的方法。

　　二次型

　　1、掌握二次型的矩阵与秩，二次型与对称矩阵的对应关系，二次型的等价与矩阵的合同。

　　2、理解和掌握标准形的定义，化二次型为标准型的配方法和合同变换法，复系数二次型的规范型，实系数二次型的规范型及惯性定理。

　　3、理解和掌握正定二次型(正定矩阵)的概念，实二次型(实对称矩阵)正定的充要条件;掌握负定、半正定、半负定、不定二次型(矩阵)的概念。

　　线性空间

　　1、理解和掌握线性空间的定义与简单性质，线性空间中的维数、基与坐标的概念，基变换与坐标变换，过渡矩阵的概念。

　　2、理解和掌握线性子空间的定义及其判定，扩基定理，子空间的交与和运算及其性质，维数公式，子空间的直和及充要条件。

　　3、掌握线性空间同构的定义及充要条件。

　　线性变换

　　1、理解和掌握线性变换的定义、运算及运算性质，线性变换的矩阵，坐标变换公式，线性变换在不同基下的矩阵，矩阵的相似关系，过渡矩阵的概念。

　　2、理解和掌握特征值、特征向量、特征多项式的定义、特征值与特征向量的求法，相似矩阵定义和性质。

　　3、掌握属于不同特征值的特征向量之间的关系，特征子空间的维数与所属特征根重数关系，矩阵可对角化的条件。

　　4、理解和掌握不变子空间的定义，不变子空间与矩阵可对角化的关系，线性变换的值域与核，线性变换的秩与零度的关系。

　　欧几里得空间

　　1、掌握欧氏空间的定义和简单性质，柯西—布涅柯夫斯基不等式，向量的长度、夹角、距离、度量矩阵的概念及性质，欧氏空间的同构。

　　2、理解和掌握向量正交基的概念，正交向量组的性质，施密特正交化方法，正交矩阵的概念及简单性质;标准正交基的过渡矩阵与正交矩阵的关系。

　　3、理解和掌握正交变换的定义和基本性质，正交变换的等价命题，正交变换的类型，子空间的正交概念，实对称矩阵特征值的性质，用正交替换变二次型为标准形的计算方法。