2025年山东专升本高等数学Ⅰ考试大纲
Ⅰ.考试内容与要求
本科目考试要求考生掌握高等数学的基本概念、基本理论和基本方法，主要考查考生识记、理解、计算、推理和应用能力，为进一步学习奠定基础。具体内容与要求如下：
一、函数、极限与连续
(一)函数
1.理解函数的概念，会求函数的定义域、表达式及函数值，会建立应用问题的函数关系。
2.掌握函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。
3.理解分段函数、反函数和复合函数的概念。
4.掌握函数的四则运算与复合运算。
5.掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。
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(二)极限
1.理解数列极限和函数极限(包括左极限和右极限)的概念。掌握函数极限存在与左极限、右极限存在之间的关系。
2.理解数列极限和函数极限的性质。了解数列极限和函数极限存在的两个收敛准则(夹逼准则与单调有界准则)。熟练掌握数列极限和函数极限的运算法则。
3.熟练掌握两个重要极限，
并会用它们求极限。
4.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。掌握无穷小的比较(高阶、低阶、同阶和等价)。会用等价无穷小量求极限。
5.会求曲线的水平渐近线和垂直渐近线。
(三)连续
1.理解函数连续性(包括左连续和右连续)的概念，掌握函数连续与左连续、右连续之间的关系。会求函数的间断点并判断其类型(可去间断点、跳跃间断点、无穷间断点和振荡间断点)。
2.掌握连续函数的四则运算和复合运算。理解初等函数在其定义区间内的连续性。
3.会利用连续性求极限。
4.掌握闭区间上连续函数的性质(有界性定理、最大值和最小值定理、介值定理、零点定理)，并会应用这些性质解决相关问题。
二、一元函数微分学
(一)导数与微分
1.理解导数的概念及几何意义，会用定义求函数在一点处的导数(包括左导数和右导数)。会求平面曲线的切线方程和法线方程。理解函数的可导性与连续性之间的关系。
2.熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式。
3.掌握隐函数求导法、对数求导法以及由参数方程所确定的函数的求导法，会求分段函数的导数。
4.理解高阶导数的概念，会求函数的高阶导数。
5.理解微分的概念，理解导数与微分的关系，掌握微分运算法则，会求函数的一阶微分。
(二)中值定理及导数的应用
1.理解罗尔定理、拉格朗日中值定理，会用罗尔定理和拉格朗日中值定理解决相关问题。
2.熟练掌握洛必达法则，会求
型未定式的极限。
3.理解驻点、极值点和极值的概念，掌握驻点和极值点的关系，会求函数的驻点、极值点和极值。掌握函数最大值和最小值的求法及其应用。
4.会用导数判断函数的单调性，会用导数证明不等式。
5.理解曲线的凹凸性的概念，会求曲线的拐点。
三、一元函数积分学
(一)不定积分
1.理解原函数与不定积分的概念，了解原函数存在定理，掌握不定积分的性质。
2.熟练掌握不定积分的基本公式。
3.熟练掌握不定积分的换元积分法和分部积分法。
4.掌握简单有理函数的不定积分的求法。
(二)定积分
1.理解定积分的概念及几何意义，了解可积的条件。
2.掌握定积分的性质及其应用。
3.理解积分上限的函数的概念，会求积分上限的函数的导数，熟练掌握牛顿-莱布尼茨公式。
4.熟练掌握定积分的换元积分法与分部积分法。
5.会用定积分求平面图形的面积和旋转体的体积。
6.理解反常积分的概念。
四、向量代数与空间解析几何
(一)向量代数
1.理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示法，会求单位向量、向量的方向余弦和向量在坐标轴上的投影。
2.掌握向量的线性运算，会求向量的数量积与向量积。
3.会求两个非零向量的夹角，掌握两个向量平行、垂直的条件。
(二)平面与直线
1.会求平面的点法式方程、一般式方程。会判断两平面的位置关系(垂直、平行)。
2.会求点到平面的距离。
3.会求直线的对称式方程、一般式方程及参数式方程。会判断两直线的位置关系(垂直、平行)。
4.会判断直线与平面的位置关系(垂直、平行、直线在平面上)。
五、多元函数微积分学
(一)多元函数微分学
1.理解多元函数的概念，理解二元函数的极限与连续的概念，会求二元函数的定义域。
2.理解二元函数偏导数、可微和全微分的概念，理解可微的必要条件和充分条件。会求二元函数的一阶、二阶偏导数和全微分。
3.掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法。
4.掌握由方程 F(x, y,z) =0 所确定的隐函数 z=z(x, y)的一阶偏导数的计算方法。
5.理解二元函数的驻点、极值点和极值的概念，掌握驻点和极值点的关系，会求二元函数的驻点、极值点和极值。
(二)二重积分
1.理解二重积分的概念、性质及其几何意义。
2.掌握二重积分在直角坐标系及极坐标系下的计算方法。
3.理解累次积分的概念，会交换累次积分的顺序。
六、无穷级数
(一)数项级数
1.理解数项级数收敛、发散的概念。掌握收敛级数的基本性质，掌握级数收敛的必要条件。
2.掌握几何级数、调和级数与 p 级数的敛散性。
3.掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法。
4.掌握交错级数收敛性的莱布尼茨判别法。
5.理解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念。
(二)幂级数
1.理解幂级数的概念，会求幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域。
2.掌握幂级数在其收敛区间内的性质(和、差、逐项求导与逐项积分)。
3.掌握幂级数的和函数在其收敛域上的性质。
4.会利用逐项求导和逐项积分求幂级数的和函数。
5.熟记
的麦克劳林级数，会将一些简单的初等函数展开为幂级数。
七、常微分方程
(一)一阶微分方程
1.理解微分方程的定义，理解微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解等概念。
2.掌握可分离变量微分方程的解法。
3.掌握一阶线性微分方程的解法。
(二)二阶线性微分方程
1.理解二阶线性微分方程解的结构。
2.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。
Ⅱ. 考试形式与题型范围
一、考试形式
考试采用闭卷、笔试形式。试卷满分 100 分，考试时间 120 分钟。
二、题型范围
选择题、填空题、判断题、计算题、解答题、证明题、应用题。
