2020遵义师范学院专升本数学与应用数学专业考试科目大纲
一、 考试总体要求
要求考生全面、系统地掌握高等代数的基本概念、基本定理、典型方法和若干应用实例,并且能灵活运用所学知识阐述解决实际问题的方法和途径。
二、考试科目
《高等代数》
三、考试形式
闭卷、笔试、满分 150 分、考试时限 150 分钟。
四、考试内容
本课程选用的教材是由高等教育出版社出版的张禾瑞, 郝炳新编写的《高等代数》(第五版)。考试内容所含知识点,知识点的所属层次及各章节知识点参考下表。
高等代数考试内容及基本要求
章 |
节 |
知 识 点 |
层次要求 |
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了解 |
理解 |
掌握 |
应用 |
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第一章
基本概念 |
§1.1 集合 |
集合的概念、关系、运算 |
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§1.2 映射 |
映射、单射、满射、双射、逆映射 |
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§1.3 数学归纳法 |
最小数原理、第一数学归纳法 |
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§1.4 整数的整除性质 |
整除的定义、带余除法 |
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素数、合数 |
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最大公因数 |
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§1.5 数环与数域 |
数环 |
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数域 |
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第二章一元多项式 |
§2.1 一元多项式的定义和运算 |
一元多项式的定义,数域P 上的多项式相等,多项式的加法、减法、乘法及 其运算律 |
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§2.2 整除的概念 |
带余除法,整除的概念及其基本性质 |
√ |
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§2.3 最大公因式 |
公因式、最大公因式、两个多项式互素。 |
√ |
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最大公因式的求法;最大公因式的性质、两个多项式互素的充要条件性质、两个多项式互素的充要条件。 |
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§2.4 多项式的分解 |
不可约多项式的概念和性 质 |
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因式分解及唯一性定理; 标准分解式 |
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§2.5 重因式 |
重因式的概念及其性质; 多项式有无重因式的判别 法 |
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§2.6 多项式函数 多项式的根 |
余数定理;多项式的根的重根;根的个数定理 |
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重根与重因式的关系,重根判别法 |
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综合除法,拉格朗日插值公式 |
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§2.7 复系数与实系数多项式的因式分解 |
代数基本定理,复系数多项式因式分解定理,复系 数多项式标准分解式 |
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实函数多项式的非实复根共轭成对,奇(偶数)次实系数多项式的实根个 数,实系数多项式因式分 解定理 |
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§2. 8 有理系数多项式 |
有理系数多项式与整系数 多项式的关系、本原多项式、高斯引理 |
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非零的整系数多项式在有理数域上可约的性质。 |
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整系数多项式有理根的求法,有理系数多项式无理 根共轭成对。 |
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艾森斯坦因判别法,一些无理数的证明方法 |
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第三章
行列式 |
§3.1 线性方程组及行 列式 |
线性方程组的解与行列式的关系 |
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§3.2 排列 |
排列及其逆序数、奇偶性, 对换改变排列的奇偶性 |
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§3.3 n 阶行列式 |
行列式的定义 |
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基本性质 |
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§3.4 子式和代数余子式 行列式的依行依列 展开 |
矩阵及其初等变换与行列计算的关系 |
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将行列式化为三角形行列 式 |
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子式、余子式、代数余子式,主要公式 |
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§3.5 克拉默规则 |
解系数行列式不为零的线性方程组 |
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第四章
线性方程组 |
§4.1 消元 法 |
消元法的基本思想、线性方程组的初等变换与矩阵 的初等变换 |
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§4.2 矩阵的秩 线性方程组有解 的判别法 |
矩阵的秩的定义、用初等变换求矩阵的秩、线性方程组有解的判别法 |
√ |
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§4.3. 线性方程组的公式解 |
线性方程组的公式解、齐次线性方程组及其非零解的概念、齐次线性方程组 有非零解的条件 |
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第五章
矩 |
§5.1 矩阵的运算 |
加法、数乘以及运算律; 转置 |
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定义及其运算律;矩阵乘 积的行列式与秩 |
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§5.2 可逆 矩阵 矩阵 |
定义;可逆的条件;矩阵 的求法;可逆矩阵的性质 |
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阵 |
乘积的行列式 |
初等矩阵定义及性质;初等矩阵与矩阵初等变换的关系;初等变换求逆;初 等变换解矩阵方程 |
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§5.3 矩阵 的分块 |
分块运算;一些可逆矩阵 分块求逆 |
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第六章向量空间 |
§6.1 定义和例子 |
向量空间概念与性质 |
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§6.2 子空间 |
向量空间的子空间 |
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交子空间、和子空间 |
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子空间的判定定理 |
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§6.3 向量的线性相关性 |
向量的线性组合 |
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线性相关、线性无关 |
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极大线性无关组 |
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向量组的等价 |
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§6.4 基和维数 |
向量空间的基、维数 |
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向量空间的维数公式 |
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余子空间 |
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§6.5 坐 标 |
向量由基的表示式、坐标 |
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过渡矩阵、坐标变换公式 |
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§6.6 向量空间的同构 |
向量空间之间的同构映射 |
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向量空间同构的充要条件 |
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§6.7 矩阵的秩齐次线性方程组的解空间 |
矩阵的行空间、列空间 |
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行(列)空间的维数与矩 阵的秩 |
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齐次线性方程的解空间 |
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基础解系、解空间的结构 |
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第七章
线性变 |
§7.1 线性映射 |
两个向量空间的线性映射 |
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映射的像 Im( s )与核 |
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§7.2 线性变换的运算 |
向量空间到自身的线性变 换 |
√ |
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线性变换的和、数乘线性变换 |
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线性变换的乘积、逆线性 |
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换 |
§7.3 线性变换和矩阵 |
线性变换在一个基下的矩阵、矩阵确定的线性变换、线性变换的运算与相应的矩阵运算、同一个线性变 换在不同基下矩阵的关系 |
√ |
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§7.4 不变子空间 |
子空间的不变性、像不变子空间、核不变子空间、不变子空间与线性变换的 对角化之间的关系 |
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§7.5 本证值和本证向量 |
线性变换的特征值与特征向量,矩阵的特征多项式、特征根与特征向量 |
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§7.6 可以对角化的矩阵 |
线性变换可以对角化的充分必要条件 |
√ |
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第八章
氏空间 |
§8.1 向量的内积 |
内积、欧氏空间的概念 |
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§8.2 正交基 |
标准正交基、正交矩阵的定义 |
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向量的正交性、正交向量组、正交基、标准正交基、施密特正交化方法、正交 矩阵 |
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§8.3 正交变换 |
正交变换的概念和性质, 正交变换的四个等价条件 |
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§8.4 对称变换和对称矩阵 |
对称变换、对称矩阵 |
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对称变换的对角化问题、实对称矩阵的特征值问题 |
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第九章
二次型 |
§9.1 二次型和对称矩阵 |
二次型概念 |
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矩阵表示;非退化线性替换;矩阵合同的定义与性质;二次型等价与矩阵合 同的关系 |
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§9.2 复数域和实数域上的二次型 |
二次型可经非退化线性替 换化成平方和的形式 |
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二次型的标准形定义及其 求法 |
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复二次型的规范形,实二次型的规范形、惯性定理 |
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§9.3 正定二次型 |
正定矩阵 |
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实二次型(实对称矩阵) 正定的性质与判别方法 |
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正交变换化实二次型为标 准形 |
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五、试卷结构
试卷题型分为填空、选择(单项)、判断、计算、证明, 小题总量在 26—32 个之间,试卷总分为 150 分。小题数在题型中的分配参考下表:
六、参考教材
1. 张禾瑞、郝炳新《高等代数》第五版 高等教育出版社
2. 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编《高等代数》(第二版)